Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке Р,при чем ВР=РС,найти стороны параллелограмма,если его периметр равен 54 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом:
AB = a
BC = b
CD = c
AD = d

Так как ВР=РС, то треугольник VPR составляет равные углы и является равнобедренным. Значит, угол VPR = угол RPD.

Так как биссектриса делит угол на два равных угла, то угол APV = угол DPC. Также угол DPC = угол APC, так как AD || BC.

Из сходственности треугольников VPR и APV следует, что PV/PA = VR/VA. Так как VR = RC = b, то PV/PA = b/(a + b).

Из сходственности треугольников DPC и APC следует, что PD/PA = DC/AC. Так как DC = AD = d, то PD/PA = d/(a + d).

Учитывая, что PV + PD = CD = c, имеем:
PV/PA = PD/PA = c/(a + c).

Отсюда следует, что b/(a + b) = d/(a + d) = c/(a + c).

Решив систему уравнений получаем, что a = 9, b = 12, c = 18, d = 15.

Итак, стороны параллелограмма равны:
AB = 9 см
BC = 12 см
CD = 18 см
AD = 15 см.