В трапеции АВСД продолжения боковых сторон АВ и СД пересекаются в точке Р,Q-точка пересечения диагоналей этой трапеции.Найдите отношение длины меньшего из оснований данной трапеции к длине большего из оснований, если известно, что площадь треугольника ABQ состовляет 1/4 от площади треугольника АСР

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины боковых сторон трапеции равны a и b, а длины диагоналей равны c и d. Тогда площади треугольников ABQ и ACP будут равны 1/4S и S соответственно.

Площадь треугольника S равна половине произведения длин его сторон и синуса угла между ними. Таким образом, получаем:

S = (1/4)[AB][BQ]sin(∠ABQ)
S = [AC][CP]*sin(∠ACP)

Так как у нас трапеция, то AB = СD = a, BQ = DR = b, АР = СQ = x, RD = СР = y, CP = AP = c и BQ = DQ = d.

Из полученных уравнений мы можем найти соотношение сторон a и b:

(1/4)absin(∠ABQ) = cdsin(∠ACP)

Теперь заметим, что ∠ABQ = ∠CRD и ∠ACP = ∠ADQ. Таким образом, sin(∠ABQ) = sin(∠CRD) и sin(∠ACP) = sin(∠ADQ).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

(1/4)absin(∠CRD) = cdsin(∠ADQ)
(1/4)abd/(c+d) = cdc/(c+d)

Умножим обе стороны на 4(c+d):

abd = cd^2

Таким образом, отношение длины меньшего основания к длине большего равно:

a/b = d/c