2) Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD. а) Докажите, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны. б) Найдите эти средние линии, если боковая сторона параллелограмма равна 5, а его высота равная 4 и делит сторону, к которой проведена, пополам

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Докажем, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.

Пусть точки P и Q - середины сторон AD и BC соответственно. Тогда по определению серединной линии, PM = MA/2 и QB = BC/2
Также из условия, что средняя линия делит сторону пополам, имеем PB = AD/2 и QM = MC/2
Поскольку AD = BC и MA = MC, то
PM = QB и PB = QM.

Теперь рассмотрим треугольники PMD и QBM. У них
1) PM = QB (серединная линия стороны AD параллельна и равна серединной линии стороны BC)
2) PB = QM (серединная линия делит сторону параллельно и пополам).

Из этих двух фактов следует, что треугольники PMD и QBM подобны, и, следовательно, углы между сторонами, к которым проведены средние линии, равны.

Таким образом, средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.

б) Теперь найдем эти средние линии.

Пусть точка M имеет координаты (x, y, z). Тогда точки P и Q будут иметь координаты (x, y, 2z) и (x, 2y, z) соответственно.

Так как PM = MA/2, то имеем
(x-x, y-y, 2z-z) = (5/2, 0, 0)
Откуда получаем
(0, -y, z) = (5/2, 0, 0).

Также, поскольку PB = QM, получаем
(x-x, 2y-y, 2z-z) = (0, 0, 4/2)
что приводит к
(0, y, -z) = (0, 0, 2).

Итак, средняя линия треугольника MAD будет проходить через точки (0, -y, z) и (0, y, -z), то есть средняя линия будет параллельна оси x и проходить через точку (0, 0, z).

Аналогично, средняя линия треугольника MBC будет проходить через точки (x, 0, z) и (x, 2y, 0), то есть она будет параллельна оси y и проходить через точку (x, y, 0).