1 . Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30◦. Найдите диагональ,проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - стороны параллелограмма, x - высота, проведенная из вершины тупого угла, и y - диагональ, проведенная из вершины тупого угла.

Так как высота параллелограмма делит сторону пополам, то a = 2x. Также из условия видно, что треугольник АСD равносторонний с углом 60° у вершины C, значит треугольник ACD равнобедренный.

Таким образом, у вершины D у нас три равных угла, значит и угол CBD = 60°. Но так как сумма всех углов параллелограмма равна 360°, то угол ABC = 90° - 60° = 30°.

Теперь можем посчитать y по теореме косинусов в треугольнике ABC:

y^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(30°) = (2x)^2 + x^2 - 22xx*(√3)/2 = 4x^2 + x^2 - 2x^2√3 = 3x^2 - 2x^2√3 = x^2(3 - 2√3).

Соответственно, y = x√(3 - 2√3). Теперь найдем углы, которые диагональ y образует со сторонами параллелограмма:

Угол DAB = 90°, угол ODA = 90° - угол ABC = 60°, так как углы параллелограмма равны, то угол DAB = угол OAB = (180° - 60°)/2 = 60°.

Таким образом, диагональ y образует с сторонами параллелограмма углы 60° и (90° - 60°) = 30°.

Пусть AB = a, AD = b, OC = c и OD = d.

Так как периметр параллелограмма равен 12, то a + b = 6.

Также, разность периметров треугольников BOC и COD равна 2, то есть c + b + 2d - (b + c + 2a) = 2, откуда 2d - 2a = 2, то есть d - a = 1.

Теперь можем записать уравнение из теоремы Пифагора для треугольников BOC и COD:

c^2 + b^2 = d^2 и d^2 + b^2 = a^2.

Также у нас есть система уравнений a + b = 6 и d - a = 1. Решая эту систему, найдем a = 2, b = 4, d = 3, c = 1.

Итак, стороны параллелограмма равны 2 и 4.