Из точки K, не лежащей на окружности с центром O проведены 2 касательные, они пересекаются с окружностью в точках M и N. Расстояние от K до центра O равно 15 см, а радиус окружности равен 7,5 см. Найти чему равен угол MKN

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку пересечения касательных как P.

Так как KN и KM - касательные, то треугольники KNO и KMO являются прямоугольными.

Используем основное свойство касательных: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Треугольники KMO и KNO подобны, так как у них по два угла совпадают и один прямой.

Получаем следующее соотношение сторон треугольников
KO / ON = MO / O
15 / 7,5 = 7,5 / O
2 = 7,5 / O
OK = 7,5 /
OK = 3,75

Теперь рассмотрим треугольник OOK. В нем известны две стороны и угол между ними (15 см, 7,5 см и 90 градусов). Мы можем найти третью сторону по теореме Пифагора
OK^2 + KO^2 = OO^
3,75^2 + 7,5^2 = OO^
14,0625 + 56,25 = OO^
70,3125 = OO^
OO ≈ 8,39

Теперь находим тангенс угла MKN
tg(MKN) = PN / O
tg(MKN) = OO / O
tg(MKN) = 8,39 / 7,
tg(MKN) ≈ 1,12

Отсюда угол MKN выражается как
MKN = arctg(tg(MKN)
MKN = arctg(1,12
MKN ≈ 47,3 градусов

Итак, угол MKN равен примерно 47,3 градусов.