На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки P и Q так, что AP:PB=DQ:QA=1:2. Докажите, что прямая CP перпендикулярна прямой BQ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольники APQ и CPB подобны, так как у них соответственные углы равны (угол APC = угол BPA, угол QPA = угол CPB).

Теперь рассмотрим отношения сторон в подобных треугольниках APQ и CPB:

AP/PB = AQ/QC (из условия AP:PB=DQ:QA=1:2)
AP/PB = AQ/(2AQ) = 1/2

Отсюда следует, что AP = AQ и PB = 2AQ.

Теперь, так как AP = AQ и треугольники APQ и CPB подобны, то у них соответственные стороны пропорциональны:

CP/PQ = 2PB/BQ = 4/2 = 2

Теперь выпишем угловую биссектрису в треугольнике CPQ:

sin(angle CPQ) = CP/CQ = 2

Теперь рассмотрим треугольник BCQ и используем закон синусов:

sin(angle BCQ) = BQ/sin(angle QBC)

Так как углы BCQ и CPQ смежные, то:

sin(angle QBC + angle CPQ) = BQ/sin(angle QBC)

Так как sin(angle QBC) и sin(angle CPQ) равны 2, то получаем:

sin(180 - angle QBC) = BQ/2

sin(angle QBC) = BQ/2

Таким образом, угол QBC = 90 градусов, что и требовалось доказать. Причем прямая CP перпендикулярна прямой BQ.