В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н. Найдите 1) сторону АС 2) угол ВАС 3) радиус описаной около треугольника АВС окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Поскольку точки М и Н являются точками касания окружности, то сегменты AM и AN равны по длине, а сегменты АН и СН равны по длине. Из этого следует, что треугольник АНС равнобедренный, поэтому угол АСН равен углу АНС. Также угол АМН есть угол АСМ. Из этого следует, что угол АСН равен углу АСМ. Таким образом, треугольник АМН равнобедренный, и AM = AN = h, СН = h, VN = VM = p.

Таким образом, можно сказать, что AV = AH и AH = 2r.

2) Поскольку треугольник АМН равнобедренный, угол АМН = угол АНМ = 0,5 ⋅ угла А. Таким образом, угол ВАН равен углу в АВН, т.е. угол АСН. Получается, что угол А = 2 ⋅ угла ВАС, откуда угол ВАС = 0,5 ⋅ угла А = 45°.

3) Рассмотрим треугольник АBM и основание АС. По теореме Пифагора AB^2 = AM^2 + BM^2 = 2h^2. Также можно записать уравнения для прямоугольного треугольника ВСМ с гипотенузой ВС: CM = BM + BC = h + 2r, тогда h^2 + СМ^2 = (h + 2r)^2. Решив данную систему уравнений, можно найти радиус описанной окружности r.