В треугольнике ABC угол при вершине C прямой, AD=13 BC=5. Найдите радиус окружности касающейся прямых AB,AC и касающейся окружности, вписанной в данный треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка касания искомой окружности с стороной AB обозначена как E, а радиус окружности обозначен как r.

Так как угол при вершине C прямой, то треугольник ABC является прямоугольным. Из этого следует, что AC - гипотенуза, DC - катет, а AD - второй катет. Тогда DC = 5, AD = 13, AC = √(5^2 + 13^2) = √(25 + 169) = √194.

По формуле площади прямоугольного треугольника S = 0.5 AD DC, и S также равна полупериметру треугольника умноженной на радиус вписанной окружности r. Полупериметр равен (5 + 13 + √194)/2 = (18 + √194)/2.

Таким образом, у нас получается уравнение:
r (18 + √194)/2 = 0.5 13 5,
r = 0.5 13 5 2 / (18 + √194) = 65 / (18 + √194) = (65 * (18 - √194)) / (18^2 - 194) = (1170 - 65√194) / (-50) = (65√194 - 1170) / 50.

Итак, радиус окружности равен (65√194 - 1170) / 50.