В прямоугольнике с периметром 28 точка пересечения диагоналей находится от меньшей стороны на 3 дальше, чем от большей стороны. Вычислить меньшую сторону прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна x, а большая - y. Тогда периметр прямоугольника равен 2x + 2y = 28, или x + y = 14.

Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, каждый из которых имеет катеты x и y. По условию, точка пересечения диагоналей находится от меньшей стороны на 3 дальше, чем от большей стороны, значит, от катета x до точки пересечения расстояние 3, а от катета y - 3.

Применим теорему Пифагора к одному из треугольников:

x^2 + (y - 3)^2 = (x + 3)^2.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9,
y^2 - 6y = 6x,
y^2 - 6y = 6(14 - y),
y^2 - 6y = 84 - 6y,
y^2 = 84.

Теперь найдем значение y:

y = 9.

Так как x + y = 14, x = 14 - 9 = 5.

Ответ: меньшая сторона прямоугольника равна 5.