В окружности проведены хорды АС и BD так что они пересекаются в точке Р. Докажите АРВ= полусумме угла АОВ и угла СОD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Пусть угол AВС равен α и угол ВСD равен β. Тогда угол ARC равен α + β (сумма углов на одной дуге). Угол AOC равен α + β (центральный угол, опирающийся на дугу AD). Также угол AOB равен 2α (центральный угол, опирающийся на дугу AD) и угол COD равен 2β (центральный угол, опирающийся на дугу BD).

Теперь докажем, что угол ARC равен среднему арифметическому (полусумме) углов AOC и COD.

Угол ARC = α + β
Угол AOC = α + β
Угол COD = 2β

Посмотрим на угол AOC и угол COD: (α + β + 2β) / 2 = (α + 3β) / 2

Угол ARC = α + β = (α + 3β) / 2

Оба равенства верны, следовательно, угол ARC равен полусумме угла AOC и угла COD.

Таким образом, утверждение доказано.