Дан выпуклый четырехугольник ABCDABCD. На его диагоналях AC и BDвыбрали точки E и F соответственно. Оказалось, что AE/EC=DF/FB=3, причем точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит внутри отрезков EC и FB. Известно, что площадь четырехугольника ABCD равна 64. Найдите площадь четырехугольника EBCF.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Пусть S1 – площадь треугольника AOE, S2 – площадь треугольника COE, S3 – площадь треугольника DOF, S4 – площадь треугольника BOF, S5 – площадь четырехугольника EBCF.

Так как AE/EC=3, то S1 = 3S2, и так как DF/FB=3, то S3 = 3S4.

Площадь ABCD равна сумме площадей треугольников AOE, COE, DOF и BOF: S = S1 + S2 + S3 + S4 = 3S2 + S2 + 3S4 + S4 = 7S2 + 4S4 = 64.

Также мы знаем, что S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 = 64 + S5, откуда S5 = S – 64 = 7S2 + 4S4 – 64 = 7S2 + 4S4 – 7S2 – 4S4 = 0.

Таким образом, площадь четырехугольника EBCF равна 0.