Найдите длину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, если известно, что: 1) АС = 12 см, угол А = 30 2) В С = 8 см, угол А = 30

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) По теореме косинусов для треугольника АВС:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos(∠A)
AB^2 = 12^2 + BC^2 - 2 12 BC cos(30)
AB^2 = 144 + BC^2 - 24 BC (sqrt(3)/2)
AB^2 = 144 + BC^2 - 12BC * sqrt(3)

Так как угол А = 30, то BC = AB sin(30) = AB 1/2 = AB/2
AB^2 = 144 + (AB/2)^2 - 12(AB/2) sqrt(3)
AB^2 = 144 + AB^2/4 - 6AB sqrt(3)

3AB^2 = 576 + AB^2 - 24AB sqrt(3)
2AB^2 - 24AB sqrt(3) - 576 = 0
AB^2 - 12AB * sqrt(3) - 288 = 0

Дискриминант D = (-12)^2 - 41(-288) = 144 + 1152 = 1296
AB = (12 sqrt(3) + 36) / 2 = 6 sqrt(3) + 18 см

2) АВ = AB
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos(∠A)
AB^2 = 8^2 + BC^2 - 2 8 BC cos(30)
AB^2 = 64 + BC^2 - 16 BC (sqrt(3)/2)
AB^2 = 64 + BC^2 - 8BC * sqrt(3)

Так как угол А = 30, то BC = AB sin(30) = AB 1/2 = AB/2
AB^2 = 64 + (AB/2)^2 - 8(AB/2) sqrt(3)
AB^2 = 64 + AB^2/4 - 4AB sqrt(3)

3AB^2 = 256 + AB^2 - 12AB sqrt(3)
2AB^2 - 12AB sqrt(3) - 256 = 0
AB^2 - 6AB * sqrt(3) - 128 = 0

Дискриминант D = (-6)^2 - 41(-128) = 36 + 512 = 548
AB = (6 * sqrt(3) + sqrt(548)) / 2 ≈ 14.8 см

Таким образом, длины гипотенуз треугольников АВС равны:
1) AB ≈ 6 * sqrt(3) + 18 см
2) AB ≈ 14.8 см