Сторона AC в треугольнике ABC равна 10 и BC=2АВ. Найти длину медианы BM, если известно, что расстояние от точки А до прямой ВМ равно 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M - середина стороны AC, значит AM = MC = 5. Также обозначим точку H - проекция точки A на прямую BM.

Так как расстояние от точки A до прямой BM равно 4, то треугольник ABH - прямоугольный и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

AB^2 = AH^2 + BH^2

В нашем случае AB = 2AM = 25 = 10 и AH = 4, поэтому

10^2 = 4^2 + BH^2
100 = 16 + BH^2
BH^2 = 84
BH = √84
BH = 2√21

Теперь можем найти длину медианы BM, используя теорему медианы в треугольнике ABM:

BM^2 = (AB^2 + AC^2) / 2 - AM^2
BM^2 = (10^2 + 10^2) / 2 - 5^2
BM^2 = (100 + 100) / 2 - 25
BM^2 = 100 - 25
BM^2 = 75
BM = √75
BM = √(25 * 3)
BM = 5√3

Итак, длина медианы BM равна 5√3.