На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ ││ CD. Точка М принадле¬жит отрезку АВ; угол MCA равен углу MCD, угол MDC равен углу MDB. Дока¬жите, что АВ = АС + BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи у нас есть:

Из пункта 1 следует, что треугольники MCA и MCD подобными, так как у них соответственные углы равны.

Из подобия треугольников MCA и MCD можем записать:
(\frac{MA}{AC} = \frac{MD}{DC}), т.е. (\frac{MA}{AC} = \frac{MD}{BD + DC}) (так как MD = BD + DC).

Также, так как угол MDC = угол MDB, треугольники MDC и MDB подобными.

Из подобия треугольников MDC и MDB можем записать:
(\frac{MD}{DC} = \frac{MB}{BD}), т.е. (MD = \frac{MB}{BD} \cdot DC).

Подставим это выражение для MD в выражение (\frac{MA}{AC} = \frac{MD}{BD + DC}):
(\frac{MA}{AC} = \frac{MB \cdot DC}{AC \cdot BD + AC \cdot DC}).

Учитывая, что AB || CD, угловая сумма ACB и DCB равна 180 градусам, следовательно угол MCA + MCB = 180 градусам. Но тогда треугольники MAC и MBD - вписанные, и, следовательно, их стороны пропорциональны.

Теперь замечаем, что (\frac{AM}{AC} = \frac{MB}{BD}) по условию задачи.

Следовательно, получаем:
(\frac{MB \cdot DC}{AC \cdot BD + AC \cdot DC} = 1), откуда
(MB \cdot DC = AC \cdot BD + AC \cdot DC), что равносильно:
(MB \cdot DC = AB \cdot BD),
(AB = \frac{MB \cdot DC}{BD} = MC).

Таким образом, получили АВ = АС + BD, что и требовалось доказать.