Через середину диагонали AC прямоугольника ABCD перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и E соответственно. Известно, что KE=AE=8 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину сторон прямоугольника следующим образом: AB = a, AD = b. Так как прямая, проведенная через середину диагонали и перпендикулярная ей, делит диагональ пополам, то AC = $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Поскольку KE = AE, прямоугольный треугольник AKE является прямоугольным треугольником с равными катетами длины 8 см. Используем теорему Пифагора для него
$AK^2 + KE^2 = AE^2
$AK^2 + 8^2 = 8^2
$AK^2 = 0
AK = 0, что означает, что точки A и K совпадают. Это означает, что прямая, проходящая через середину диагонали, проходит также через точку A.

Теперь обратимся к треугольнику ABC, который является прямоугольным по построению, так как треугольник ABCD является прямоугольником. Из того, что точка А является серединой гипотенузы, следует, что AB = BC, то есть a = b.

Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, имеем
$a^2 + a^2 = (\sqrt{a^2 + a^2})^2
$2a^2 = 2a^2
$a = b$

Отсюда следует, что стороны прямоугольника равны между собой, и по условию дано, что KE = 8 см. Это означает, что сторона прямоугольника равна 8 + 8 = 16 см. Поэтому большая сторона прямоугольника равна 16 см.