Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, которая отсекает отокружности основания дугу 60 °. Диагональ образованного сечения равна 10сми наклонена к плоскости основания под углом 45 °. Найдите объем цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно воспользоваться геометрией и тригонометрией.

Пусть радиус цилиндра равен r, тогда диаметр основания цилиндра равен 2r.

Так как отсекаемая плоскость отсекает от круга дугу 60°, то с учетом радиуса r получаем, что длина этой дуги равна r*60° = πr/3.

Поскольку наклонная диагональ сечения равна 10 см, а угол наклона к плоскости основания равен 45°, то можно составить треугольник с гипотенузой 10 см, катетом (высотой цилиндра) и углом 45° между гипотенузой и катетом. Тогда высота цилиндра равна 10 sin(45°) = 10 (√2/2) = 5√2 см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πr^2h. Подставим полученные данные:

V = πr^2 * 5√2 = 5πr^2√2

Теперь остается найти радиус r. Можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного радиусом r, половиной диагонали (5 см) и высотой цилиндра (5√2 см):

r^2 + (5/2)^2 = (10/2)^2
r^2 + 25/4 = 25
r^2 = 25 - 25/4
r^2 = 75/4
r = √(75/4) = √75 / 2 = 5√3 / 2

Теперь можем подставить значение радиуса обратно в формулу для объема:

V = 5π (5√3 / 2)^2 √2 = 5π 75/4 √2
V = 75π√2

Итак, объем цилиндра составляет 75π√2 кубических сантиметров.