К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если MN=20, CM=26.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка касания окружности с треугольником АВС обозначается точкой О. Так как ABC - равнобедренный треугольник, то MO=NO, следовательно, треугольник МОN - равнобедренный.

Обозначим сторону равнобедренного треугольника АВС за х. Так как касательная параллельна основанию АВ, то треугольники АNО и ОМС подобны и мы можем построить пропорции:

[\frac{OM}{AN} = \frac{CM}{AC} = \frac{26}{x}]

[\frac{NO}{AN} = \frac{CN}{AC} = \frac{26}{x}]

Получаем, что внутри треугольника АВС MN = 2OM. По условию MN = 20, следовательно MO = 10.

Посмотрим на подобные треугольники АOB и OMC:

[\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{СM} = \frac{х}{26} => OA = \frac{х \cdot CM}{26}]

Теперь найдем значение радиуса r:

[r = OA - CM = \frac{х \cdot CM}{26} - 26 = r*\sqrt{2}]

[r = \frac{10 \cdot 26}{26} - 26 = 10*\sqrt{2}].

Теперь найдем значение стороны х равнобедренного треугольника АВС:

[MO^{2} = r^{2} - \frac{x^{2}}{4}]

[10^{2} = (10*\sqrt{2})^{2} - \frac{x^{2}}{4}]

[100 = 200 - \frac{x^{2}}{4} => x = 20]

Теперь можем найти площадь треугольника АВС:

[S_{ABC} = \frac{x^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{20^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 100 \cdot \sqrt{3}].