Основанием параллелепипеда служит ромб. Сторона ромба равна альфа, а острый угол равен 60 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью боковой грани угол 45 градусов. найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту параллелепипеда. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из диагоналей ромба, его высотой и высотой параллелепипеда.

Так как угол между меньшей диагональю и плоскостью боковой грани параллелепипеда равен 45 градусов, а угол между меньшей диагональю и альфа (стороной ромба) равен 60 градусов, то угол между высотой параллелепипеда и меньшей диагональю равен 75 градусов.

Таким образом, получаем, что tg(75°) = h / (a/2), где h - высота параллелепипеда, a - сторона ромба.

tg(75°) = (1 + sqrt(3)), так как tg(75°) = tg(45° + 30°) = (1 + tg(30°)) = (1 + sqrt(3)).

Отсюда h = (a/2) (1 + sqrt(3)) = a/2 + asqrt(3)/2.

Теперь найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Она равна периметру ромба, умноженному на высоту параллелепипеда:

Sб = 4a h = 4a (a/2 + asqrt(3)/2) = 2a^2 + 2a^2sqrt(3).

Площадь основания параллелепипеда (ромба) равна Sосн = a^2.

Теперь найдем площадь двух оснований:

Sосн1 = Sосн2 = 2 * a^2.

Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей его оснований и боковой поверхности:

Sполная = Sосн1 + Sосн2 + Sб = 2 a^2 + 2a^2 + 2a^2sqrt(3) = 4a^2 + 2a^2*sqrt(3).

Итак, площадь полной поверхности параллелепипеда равна 4a^2 + 2a^2*sqrt(3).