Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;1), B(19;9), C(13;12) и D(9;4). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно проверь в шагах решения.) Ответ: SABCD= .
Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно убедиться, что векторы AB и BC перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0).
Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно убедиться, что векторы AB и BC перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0).
Вектор AB: (19-15; 9-1) = (4; 8)
Вектор BC: (13-19; 12-9) = (-6; 3)
Скалярное произведение векторов AB и BC:
4(-6) + 83 = -24 + 24 = 0
Так как скалярное произведение равно 0, векторы AB и BC перпендикулярны, следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.
Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD. Для этого рассчитаем длины сторон AB и BC, их произведение даст нам площадь прямоугольника.
Длина AB: √((19-15)^2 + (9-1)^2) = √(4^2 + 8^2) = √(16 + 64) = √80
Длина BC: √((13-19)^2 + (12-9)^2) = √((-6)^2 + 3^2) = √(36 + 9) = √45
Площадь прямоугольника ABCD: S = √80 √45 = √(8045) = √3600 = 60
Ответ: SABCD = 60.