На клетчатой бумаге с размером клетки 1на1 изображён треугольник ABCABC . Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AC .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим высоту из вершины A на сторону AC. Обозначим точку пересечения высоты с стороной AC как D.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то проведём медиану из вершины A на сторону BC (пусть точка пересечения медианы с стороной BC обозначается как E). Так как медиана является медианой, то AE = EC, значит треугольник AEC также равнобедренный.

Таким образом, у нас получаются два равнобедренных треугольника: AEC и ABC.
Теперь давайте рассмотрим треугольник ADB.

Поскольку ABC равнобедренный, у него углы при основании равны и равны 72°, а острый угол BAC равен 36°. Угол ADC прямой (180° - 72° = 108°), так как AD является высотой.

В рассмотренном нами треугольнике ADB два равных угла: угол BAD = угол ADB, так как треугольник ABD также является равнобедренным. Пусть угол BAD = угол ADB = α.

Тогда в треугольнике ADB сумма углов равна 180°: 36° + α + α = 180° => 2α = 144° => α = 72°.

Теперь мы знаем, что треугольник ADB равнобедренный, его острый угол равен 72°, а AD является высотой.

Теперь рассмотрим треугольник ASD. В нём угол ASD = 36° (поскольку ADS - внешний угол треугольника ADB), угол DAS = 72° (поскольку ASD - внешний угол равнобедренного треугольника ADB), угол ADS = 72° и AD - высота. Из угла ADS = угла CAD = 72° следует, что AD равна высоте.

Итак, мы нашли высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AC.