Из точки O на плоскости выходят 4 луча, следующие друг за другом по часовой стрелке: OA, OB, OC и OD. Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим угол AOC как α, а угол BOD как β.

Так как сумма углов AOB и COD равна 180°, то углы AOC и BOD также образуют смежные углы и их сумма также равна 180°.
То есть, α + β = 180°.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOD. Угол AOC равен α, угол BOD равен β. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол OAC равен 180° - α, а угол OBD равен 180° - β.

Теперь рассмотрим углы пересечения биссектрис AO и BO. По определению биссектрисы эти углы будут равны 90° - (180° - α)/2 и 90° - (180° - β)/2 соответственно.

Докажем, что эти углы равны:
90° - (180° - α)/2 = 45° + α/2
90° - (180° - β)/2 = 45° + β/2

Так как α + β = 180°, то:
45° + α/2 + 45° + β/2 = 90° + α/2 + β/2 = 90° + (α + β)/2 = 90° + 90°/2 = 90°.

Таким образом, углы пересечения биссектрис AO и BO равны 90°. Значит, биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.
Теорема доказана.