На плоскости дан отрезок AB и на нём произвольная точка M. На отрезках AM и MB как на сторонах построены квадраты ACD и MBEF, лежащие по одну сторону от AB, и N - точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки M на отрезке AB каждая прямая MN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения нам нужно рассмотреть случай, когда точка M находится на середине отрезка AB.

Пусть точка M находится на середине отрезка AB. Тогда AM = MB. Поскольку квадраты ACD и MBEF построены на отрезках AM и MB как сторонах, у них также равны соответственные стороны:

AC = CD = BF = BE.

Таким образом, мы видим, что квадраты ACD и MBEF имеют равные стороны.

Рассмотрим теперь прямые AF и BC. Поскольку точка M находится на середине отрезка AB, то прямые AF и BC пересекаются в точке N на отрезке AC, причем AN = NC.

Теперь заметим, что для любой точки M на отрезке AB стороны квадратов ACD и MBEF будут равны, что означает, что прямая MN будет пересекать обе эти стороны в одной и той же точке S.

Таким образом, мы доказали, что при любом положении точки M на отрезке AB каждая прямая MN проходит через точку S, общую для всех таких прямых.