В прямоугольнике A B C D стороны A B =9, A D equals 40. Биссектриса угла A B D пересекает прямую C D в точке E, а биссектриса угла A D B пересекает прямую B C в точке F. Найдите квадрат длины отрезка E F.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины биссектрис углов ABD и ADB.

Из прямоугольника ABCD заметим, что треугольник ABD - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

AD^2 = AB^2 + BD^2
40^2 = 9^2 + BD^2
BD = √(40^2 - 9^2)
BD = √(1600 - 81)
BD = √1519

Так как биссектриса угла ABD делит угол B на два равных угла, то треугольник ABC подобен треугольнику AEF. Тогда можно записать пропорцию:

AB / AE = BD / EF
9 / AE = √1519 / EF
AE = 9 * EF / √1519

Аналогично, по теореме Пифагора находим длину биссектрисы ADB:

AB^2 = AD^2 + BD^2
9^2 = 40^2 + BD^2
BD = √(9^2 - 40^2)
BD = √(81 - 1600)
BD = √(-1519)

Таким образом, длина биссектрисы ADB равна √1519. Используя аналогичную пропорцию, получаем:

AD / AF = BD / EF
40 / AF = √1519 / EF
AF = 40 * EF / √1519

Теперь нужно составить уравнение:

AE = 9 EF / √1519
AF = 40 EF / √1519

Сумма квадратов длин отрезков AE и AF равна квадрату длины EF:

(AE^2 + AF^2) = EF^2

(81 EF^2) + (1600 EF^2) / 1519 = EF^2

(1681 * EF^2) / 1519 = EF^2

1681 / 1519 = 1.108

Таким образом, квадрат длины отрезка EF равен 1.108.