Найти точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы x^2 / 16 - y^2/9 = 1, если известно, что точка А (1,12) лежит на прямой, проходящей через левый фокус гиперболы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы и точку А.

Уравнение гиперболы можно записать в виде x^2 / 16 - y^2 / 9 = 1. Фокусы гиперболы находятся на главной оси гиперболы, которая параллельна оси X.

Так как фокус левее нуля, то его координаты будут (-c, 0), где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса.

Из уравнения гиперболы следует, что c^2 = 16 + 9 = 25, т.е. c = 5.

Таким образом, координаты левого фокуса будут (-5, 0).

Уравнение прямой, проходящей через точку А(1,12) и левый фокус (-5, 0) можно найти, зная угловой коэффициент прямой и одну из точек.

Угловой коэффициент прямой m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (12 - 0) / (1 - (-5)) = 12/6 = 2.

Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = 2x + b.

Подставив координаты точки А в уравнение прямой, найдем значение b:

12 = 2*1 + b,
b = 10.

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку А и левый фокус имеет вид y = 2x + 10.

Теперь найдем уравнения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы.

Перпендикулярный угловой коэффициент будет равен -1.

Для прямой, проходящей через левый фокус (-5, 0), угловой коэффициент будет -2.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через левый фокус будет y = -2x.

Для прямой, проходящей через правый фокус (5, 0), уравнение будет y = 2x.

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых:

-2x = 2x,
2x = 0,
x = 0.

Подставив x = 0 в одно из уравнений прямых, получим y = 0.

Таким образом, точка пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы - это точка (0, 0).