Дан треугольник АВС. На медиана AN взята точка M; AM:MN = 1:2. Нужно определить в каком отношении прямая BM делит сторону АС, считая от вершины С.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка ВМ делит сторону АС в отношении х:у, тогда можно составить следующие уравнения:

AM:MN = 1:2
BM:MN = х:у

Так как AM:MN = 1:2, то AM = 1/3AN и MN = 2/3AN

Тогда по теореме Талеса для треугольника АВМ:
BM/MN = AN/AM
BM / (2/3AN) = AN / (1/3AN)
BM = 2/3*AN

Так как AM = 1/3AN и MN = 2/3AN, то AN = AM + MN = 3/3*AN = AN

Отсюда следует, что BM = 2/3*AN, и значит прямая BM делит сторону АС в отношении 2:3, считая от вершины С.