Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольника, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить координаты двух других вершин этого треугольника 13x+4y–7=0, 2x–y–1=0, A(5,–3).Нужно решить с подробным решением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем координаты точек пересечения прямых 13x + 4y - 7 = 0 и 2x - y - 1 = 0.

Для этого решим систему уравнений:

13x + 4y - 7 = 0
2x - y - 1 = 0

Преобразуем второе уравнение:

y = 2x - 1

Подставим это выражение в первое уравнение:

13x + 4(2x - 1) - 7 = 0
13x + 8x - 4 - 7 = 0
21x + 8 = 0
21x = -8
x = -8/21

Теперь найдем y, подставив x в уравнение y = 2x - 1:

y = 2*(-8/21) - 1
y = -16/21 - 1
y = -16/21 - 21/21
y = -37/21

Таким образом, первая точка пересечения прямых имеет координаты (-8/21, -37/21).

Теперь найдем вторую точку пересечения прямых.

Для этого подставим координаты первой точки в уравнение прямых:

13x + 4y - 7 = 0
13(-8/21) + 4(-37/21) - 7 = 0
-104/21 - 148/21 - 7 = 0
-252/21 - 7 = 0
-252 - 147 = 0
-399 = 0

Уравнение не имеет решения, значит, вторая точка пересечения прямых отсутствует.

Найдем координаты третьей вершины треугольника.

Так как у треугольника две вершины находятся на прямых, содержащих высоты, то третья вершина лежит на высоте, проведенной из вершины A (5, -3).

Так как координаты вершины и уравнение прямой высоты A известны, можно найти уравнение этой высоты. Уравнение прямой, проходящей через A (5, -3) и перпендикулярное прямой 13x + 4y - 7 = 0, можно найти, зная, что произведение коэффициентов наклона данных прямых равно -1.

Найдем коэффициент наклона прямой 13x + 4y - 7 = 0:

13x + 4y - 7 = 0
4y = -13x + 7
y = -13/4*x + 7/4

Прямая, перпендикулярная данной, имеет коэффициент наклона, равный -4/13. Учитывая, что она проходит через точку A(5, -3), найти уравнение прямой высоты. Также известно, что высота проходит через вершину, находящуюся в вершине треугольника, а значит, через точку (5, -3).

Уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой 13x + 4y - 7 = 0:

y = -4/13*x + m

Подставим координаты точки A(5, -3):

-3 = -4/13*5 + m
-3 = -20/13 + m
m = -3 + 20/13
m = -39/13

Таким образом, уравнение прямой высоты, проведенной из вершины A(5, -3):

y = -4/13*x - 39/13

Теперь найдем координаты пересечения прямой высоты с каждой из известных прямых, чтобы найти координаты оставшейся вершины треугольника.

Для прямой 2x - y - 1 = 0:

2x - (-4/13x - 39/13) - 1 = 0
2x + 4/13x + 39/13 - 1 = 0
26/13*x = -38/13
x = -38/26
x = -19/13

Подставим найденное значение x обратно в уравнение прямой высоты:

y = -4/13*(-19/13) - 39/13
y = 76/169 - 39/13
y = 76/169 - 507/169
y = -431/169

Таким образом, координаты оставшейся вершины треугольника:

B(-19/13, -431/169)