Дан конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник. В конус вписан шар радиуса R. Найдите объём данного конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике равен его стороне, деленной на 2√3.

Таким образом, сторона осевого сечения: a = R2√3.

Найдём высоту конуса, равную высоте равностороннего треугольника.

h = (√3 * a)/2 = (R * 2√3 * √3)/2 = 3R.

Найдём объем конуса через высоту и образующую, умножив 1/3π на высоту и разность квадратов образующей и высоты.

V = (πh(a^2 - h^2))/3 = 3,14 * 3R (R^2 * 4 * 3 - 9R^2)/3 = 3,14 * 3R * 3R^2/3 = 3,14 * 3R^3 = 9,42 * R^3.

Ответ: V = 9,42 * R^3.