Доказать, что точки пересечения биссектрис всех углов прямоугольника являются вершинами квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный прямоугольник ABCD.

Проведем биссектрисы всех четырех углов прямоугольника. Пусть точки их пересечения обозначены как E, F, G и H.

Рассмотрим треугольники AEF и AHE. У них имеют общую сторону AE, AE является биссектрисой угла A, следовательно, углы EAF и HAE равны между собой. Также углы AFE и AHE являются прямыми. Значит, треугольники AEF и AHE равны.

Следовательно, AE = AH и EF = EH.

Теперь рассмотрим треугольники EGF и HGF. По аналогии с предыдущим шагом, мы можем сделать вывод, что EG = HG и GF = HF.

Таким образом, мы получили, что все стороны квадрата EFGH равны между собой: EG = HG = GF = HF.

Также углы квадрата EFGH равны между собой: углы EGF, GFE, FEG, EG у kvadrate EFGH.

Таким образом, точки пересечения биссектрис в прямоугольнике являются вершинами квадрата.