В круге на расстоянии 1 от центра даны взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из которых равна 6. Найдите отрезки, на которые делятся хорды точкой их пересечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

У границ треугольников проведем диаметр, параллельный хорде. Тогда на получившихся трех отрезках и на отрезках между хордами можно посчитать расстояние между точками пересечения хордами.
Для треугольника можно сколько-нибудь действительно имеющий пользовательскую параметризацию:
$$
r(\phi) = \begin{pmatrix} \cos\phi \ \sin\phi \end{pmatrix}.
$$
Диаметр можно проходит через точки $(1,2)$ и $(-1,-2)$.
$$
y = kx + b.
$$
$$
k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{2+2}{1+1} = 2.
$$
$$
2 = 2\cos\phi + b.
$$
$$
b = 2(1 - \cos\phi).
$$
Отсюда диаметрова уравнения:
$$
y = 2x + 2(1 - \cos\phi).
$$
Теперь выразим точку пересечения диаметро со сторонами вне равностороннего треугольника через угол этих сторон.
$$
\sin\phi = \frac{x \sqrt{1-k^2}}{\sqrt{x^2(1-k^2) + y^2}}.
$$
$$
x^2 = y^2(1-k^2).
$$
$$
x^2 = 4y^2.
$$
$$
y = \frac{2}{3}.
$$
$$
b = 2(1 - \frac{\sqrt{5}}{2}).
$$
$$
b = 2 - \sqrt{5}.
$$
Далее найдем радиус круга, проходящего через вершины равностороннего треугольника.
$$
r = \frac{\sqrt{3}a}{6} = 3.
$$
Отсюда уравнение медиан равностороннего треугольника и как следствие координаты точки их пересечения.
$$
y = \frac{2}{3} = \frac{3}{2}(1 - \cos\frac{\phi}{2}).
$$
$$
\cos\frac{\phi}{2} = \frac{1}{2}.
$$
$$
\phi = \pi/3.
$$
$$
(1 - \cos\phi)/2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}.
$$
Соответственно другие координаты точек нашего пересечения медиан равностороннего треугольника это $x = 1$ и $y = \frac{4}{3}$, а также $x = 1$ и $y = 0$.
Расстояние между точками равно $2\sqrt{1+(1-\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = 5.$