Из вершины тупого угла B ромба ABCD опущены перпендикуляры BM и BN к сторонам ромба, длина каждого изних равна корень из 20. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно 4. Hайти площадь ромба.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны ромба через а. Так как BM и BN являются высотами прямоугольных треугольников BMD и BNC, то получаем:

BM^2 + DM^2 = BD^2,
BN^2 + CN^2 = BC^2.

Из условия задачи получаем, что BM = BN = √20, а DN = CM = 2. Подставляем данные значения в формулы:

20 + DM^2 = a^2,
20 + CN^2 = a^2.

Отсюда получаем, что DM = CN = 2√5. Теперь можем найти площадь ромба, используя формулу площади ромба через диагонали:

S = 1/2 d1 d2,
d1 = 2√5 + 2√20 = 2√5 (1 + 2) = 6√5,
d2 = 2 a.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются под углом 90 градусов, то d2 = 2 √(20 + 4) = 2 √24 = 4√6. Таким образом:

S = 1/2 6√5 4√6 = 12√30.

Ответ: площадь ромба равна 12√30.