В треугольнике АВС медиана АА1 и СС1 перпендикулярны друг другу и обе равны 3 корня из 5 .Найдите стороны треугольника АВС и третью медиану

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку медиана перпендикулярна к стороне треугольника, к которой она проведена, то треугольник АА1C1 является прямоугольным с четыремя равными отрезками: А1А = С1С = 3√5, АA1 и СС1 – медианы треугольника АВС, и потому равны между собой. Таким образом, третья медиана ВВ1 также равна 3√5.

Поскольку в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то АА1² = AC1² + C1A1², откуда 3√5² = 3² + (CA/2)², а значит, CA = 2*√5.

Так как центр масс треугольника делит медианы в отношении 2:1, то AB = BC = 2/3*CA = 4.

Итак, стороны треугольника АВС равны:
AB = BC = 4,
AC = 2√5.

Третья медиана ВВ1 также равна 3√5.