Плоскость [tex]\alpha[/tex] пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и N соответственно и параллельна стороне AC. Найдите сторону AC треугольника, если MN=8см, BM:MA=2:1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков BM=x и AM=y. Тогда получаем BM=2x, MA=x. Так как плоскость [tex]\alpha[/tex] параллельна стороне AC, то по теореме Талла имеем, что отношение сторон треугольников ABM и ABC равно отношению сторон треугольников AMN и ACN:

[x/y] = [(AB+BM+MA)/AC] = [(AB+2x+x)/AC] = [(AB+3x)/AC],
[8/x] = [(AB+3x)/AC].

Также из задачи известно, что BM:MA=2:1, следовательно:

2x/x = 2/1,
x = 8/2 = 4.

Теперь можем выразить сторону AC:

[8/4] = [(AB+3*4)/AC],
[2] = [(AB+12)/AC],
2AC = AB + 12.

Так как плоскость [tex]\alpha[/tex] параллельна стороне AC, то угол BMN равен углу BAC. Также так как ABM и ANM - подобные треугольники, то угол BMN также равен углу MAN. Следовательно угол BAC равен SUMMA их углов, то есть угол BMN + угол MAN. Углы BMN и MAN равны соответственно углу MAB и углу NAC, которые, будучи углами треугольника, в сумме дают 180градусов.

Таким образом получаем, что 2*угол BAC = 180, угол BAC = 90градусов.

Так как угол BAC прямой, треугольник ABC - прямоугольный. Поэтому по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Так как AB = 3x = 12 и MN = 8, то получаем, что BC = 12 - 8 = 4.

Тогда подставляем все в формулу для нахождения стороны AC:

AC^2 = 12^2 + 4^2,
AC^2 = 144 + 16,
AC^2 = 160,
AC = 4√10.

Итак, сторона треугольника AC равна 4√10 см.