На сторонах AB BC CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1 A1 B1 соотвественно. Докажите, что если угол B1A1C = углу BA1C1, угол A1B1C = углу AB1C1, угол A1C1B = углу AC1B1, то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть H1, H2, H3 - основания высот треугольника ABC, опущенных из вершин A, B, C соответственно.

Проведем отрезки AH1, BH2, CH3. Так как угол B1A1C = углу BA1C1, то треугольники AB1C1 и A1BC подобны по углам. Значит, соответствующие стороны этих треугольников будут пропорциональны: AB1/BA1 = BC1/AC1.

Аналогичным образом из условий следует, что треугольники BA1C1 и B1AC подобны по углам (соответственно угол A1B1C = углу AB1C1), поэтому AB1/BA1 = AC1/BC1.

Из этих двух пропорций следует, что AB1 = AC1, то есть отрезок B1C1 равен отрезку CH3.

Аналогично можно доказать, что отрезки A1B1 и AH1 равны, а отрезки C1A1 и CH1 равны.

Таким образом, мы получили, что отрезки A1H1, B1H2 и C1H3 являются высотами треугольника ABC, исходя из чего следует по определению, что точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Таким образом, утверждение доказано.