В треугольнике АВС медианы АА¹, ВВ¹, СС¹ пересекаются в точке О. Точки K, M, N являются серединами отрезков АО, ВО, СО соответственно. а) Докажите, что треугольники KMN и АВС подобны. б) Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника KMN – 44 см. Найдите отношение медиан треугольника АВС к медианам треугольника KMN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку точки K, M, N являются серединами соответствующих сторон треугольника ABC, то по свойству медиан треугольника, отрезки AK, BK, CM, AM, BN, CN равны между собой и составляют по половине от соответственных сторон треугольника ABC.

Также, по теореме о медиане треугольника, точка О разбивает каждую медиану в отношении 2:1. Значит, отрезки АО, ВО, СО также равны между собой и составляют каждый по половине от соответствующих медиан треугольника ABC.

Таким образом, треугольники KMN и ABC подобны по теореме о соответствующих частях.

б) Поскольку треугольники KMN и ABC подобны, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Пусть периметр треугольника ABC равен P, а периметр треугольника KMN равен 44 см. Тогда

P/44 = AO/OK = BO/OM = CO/ON = 2

Отсюда P = 2 * 44 = 88 см.

Найдем теперь отношение медиан треугольника ABC к медианам треугольника KMN. Так как соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, то отношение медиан равно отношению соответствующих сторон.

Так как каждая медиана треугольника ABC равна половине соответствующей медианы треугольника KMN, то отношение медиан треугольника ABC к медианам треугольника KMN равно 1:2.