Дана трапеция ABCD. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. На основании BC взята точка E. Отрезки AE и ED пересекают MN в точках S и T. Площади треугольников AMS, SET, TND равны, соответственно, 6, 7 и 50. Какова минимально возможная площадь трапеции при данных условиях?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков AM = s, MS = h, SE = x, ET = y, TN = z, ND = k.

Так как площади треугольников AMS, SET, TND равны 6, 7 и 50 соответственно, то:

1) 1/2 s h = 6
2) 1/2 (x + y) h = 7
3) 1/2 k z = 50

Также, по условию трапеции:

1/2 s (BC + x + y + k) = S

Где S - площадь трапеции.

Так как AM = AMS + SE = 6 + x, то s = 2*(6+x) и h = 12 / (6 + x).

Из уравнений (1) и (2) находим x и y:

6 + x + y = 12 / h
7 = 12 / h
h = 12 / 7

Подставив h обратно в уравнения (1) и (2), мы найдем x = 1 и y = 6.

Таким образом, BC = x + y + k = 1 + 6 + k = 7 + k.

Из уравнения (3) найдем k = 100 / z.

Подставив k в уравнение трапеции, найдем:

s (BC + x + y + k) = 2(6+x) (7 + k + x + y) = 2(7+x) (7 + 100/z) = 277 + 2100(7/z) + 2x7 + 2x*(100/z) = 98 + 1400/z + 14 + 200/z

Минимальное значение этого выражения будет при z -> ∞, поэтому минимально возможная площадь трапеции будет равна 98.