Найдите угол между касательной и хордой, которые проведены из одной точки, если хорда равна половине диаметра окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( O ) - центр окружности, ( A ) - точка касания касательной ( AT ), ( B ) - точка пересечения хорды ( AB ) с окружностью.

Так как хорда ( AB ) равна половине диаметра, то ( AB = \frac{OD}{2} ), где ( D ) - середина диаметра.

Из прямоугольного треугольника ( OBA ) имеем: ( OB = OJ + JB = OD + DB = OD + AJ = OD + RO ), так как угол ( AJO ) прямой.

Таким образом, ( OB = \frac{OD}{2} + OD = \frac{3}{2} OD ).

Из равенства треугольников ( ABT ) и ( OBA ) следует, что углы ( A ) и ( O ) противостоящие и равны, и угол ( T ) противостоящий углу ( O ), значит угол между касательной и хордой ( ( TOA ) равен углу ( AOB ).

Угол ( AOB ) в равнобедренном треугольнике ( AOB ) равен ( 180^\circ - \angle ABO - \angle BAO ), где угол ( ABO ) равен углу ( TOA ).

Таким образом, угол между касательной и хордой равен ( 180^\circ - \angle TOA - \angle AOB = 180^\circ - \angle TOA - (180^\circ - \angle ABO - \angle BAO) = \angle ABO + \angle TOA - \angle BAO = \angle ABO ), или угол между касательной и хордой равен углу ( ABO ).

Так как ( AB = \frac{3}{2} OD ), угол ( AOB ) прямой треугольник ( ODB ) тангенс которого равен: ( \tan(\angle AOB) = \frac{OD}{OB} = \frac{OD}{\frac{3}{2} OD} = \frac{2}{3} ). Значит угол между касательной и хордой равен ( \arctan(\frac{2}{3}) \approx 33.69^\circ ).