Задание из 2 части ОГЭ по математике.
Углы при одном из оснований трапеции равны 75° и 15°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 7. Найдите меньшее из оснований этой трапеции.
Нужно максимально развернутое решение с объяснением каждого шага!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB и CD - основания трапеции, а M и N - середины её боковых сторон.

Так как AM = 15, то MB = 2 AM = 30.
Аналогично, если CN = 7, то ND = 2 CN = 14.

Пусть E - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции AB и CD.

Так как ABCD - трапеция, то EF || AB и EF || CD. При этом EM = 1/2(MB - ND) = 1/2(30 - 14) = 8. Так как EM = NF, то треугольник ENF - равнобедренный, и углы ENF и EFN равны между собой. В сумме они равны 180°, а значит, каждый из этих углов равен 180/2 = 90°.

Поскольку FEM = 90°, то треугольник EFM - прямоугольный. Тогда применим теорему Пифагора к треугольнику EFM:

EF^2 = EM^2 + FM^2,
EF^2 = 8^2 + 15^2,
EF^2 = 64 + 225,
EF^2 = 289,
EF = sqrt(289),
EF = 17,

EF = AB + CD, то есть AB + CD = 17.

Известно, что углы при одном из оснований трапеции равны 75° и 15°. Поскольку сумма углов при основаниях трапеции равна 180°, то 75° + 15° = 90° - это сумма углов при одном из оснований. Следовательно, углы при другом основании равны 180° - 90° = 90°.

Так как углы при вершине одного из оснований трапеции равны 15° и 90°, то основание, к которому они относятся, является меньшим. Значит, меньшее из оснований трапеции равно 15°.

Ответ: 15.