Даны параллелограмм и прямая, параллельная одной из его диагонали. Докажите, что продолжения параллельных сторон параллелограмма отсекают от этой прямой равные отрезки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим параллелограмм как ABCD, где AB//CD и BC//AD. Пусть прямая параллельная диагонали AC пересекает продолжения сторон AB и CD в точках E и F соответственно.

Так как AB//CD, то угол ABC равен углу CDA (их стороны параллельны). Также угол ABC равен углу FAE (вертикальные углы), а угол CDA равен углу EFA (вертикальные углы).

Из этих равенств следует, что треугольники ABC и AEF подобны (по двум углам), поэтому соответствующие стороны пропорциональны: AE/AB = AF/AD.

Аналогично, треугольники ADC и AEF подобны, поэтому AE/AD = AF/AC.

Таким образом, мы получили, что AE/AB = AE/AD = AF/AC. Значит, отрезки AE и AF равны между собой, что и требовалось доказать.