Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен 12/5 Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через r1 и r2 радиусы вписанных окружностей треугольников BCP и ABC соответственно.

Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику BCP, так как у них углы при вершине C равны (вертикальные углы). Таким образом, отношение сторон треугольников равно отношению радиусов вписанных окружностей:

BC/AB = r1/r2

Так как радиус вписанной окружности треугольника BCP равен 24, то BC = 2r1 = 48.

Далее, нам дан тангенс угла BAC, который равен 12/5. Тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

tg(BAC) = CP/BC

12/5 = CP/48

CP = 48 * 12 / 5 = 115.2

Теперь можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCP:

CP^2 = BP^2 + BC^2

115.2^2 = (BC - r1)^2 + r1^2

115.2^2 = (48 - 24)^2 + 24^2

115.2^2 = 24^2 + 24^2

115.2^2 = 2 * 24^2

r1 = 24 * sqrt(2)

Наконец, подставляем значение r1 в оригинальное отношение радиусов и находим r2:

48/AB = 24 * sqrt(2) / r2

48/AB = 24 * sqrt(2) / r2

r2 = 24 sqrt(2) AB / 48

r2 = sqrt(2) * AB / 2

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен sqrt(2) * AB / 2.