Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию, радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24. Обозначим радиус вписанной окружности треугольника ABC как r.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то из подобия треугольников BCP и ABC мы можем записать:

(\frac{r}{24} = \frac{BC}{CP})

Также из тангенса угла BAC мы можем записать:

(tg \angle BAC = \frac{BC}{r})

Подставляем первое уравнение во второе:

(tg \angle BAC = \frac{r}{24 \cdot r})

(tg \angle BAC = \frac{1}{24})

Отсюда находим угол BAC:

(\angle BAC = arctg \frac{1}{24})

Далее, найдем катет BC:

(BC = r \cdot tg\angle BAC = r \cdot tg(arctg \frac{1}{24}) = r \cdot \frac{1}{24} = \frac{r}{24})

Из подобия треугольников BCP и ABC:

(\frac{r}{24} = \frac{BC}{CP})

Подставляем найденное выше значение BC:

(\frac{r}{24} = \frac{\frac{r}{24}}{CP})

(CP = 1)

Теперь можем найти радиус вписанной окружности треугольника ABC:

(r = 24 \cdot CP = 24).

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 24.