Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, как r. Так как точка P является точкой касания вписанной окружности треугольника BCP, то PC=r, BC=r+24.

Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что тангенс угла BAC равен Найдем длину стороны AC:

tg(BAC) = AC/BC
tg(BAC) = AC/(r+24)

AC = (r+24) tg(BAC)
AC = (r+24)

Так как CP является высотой треугольника ABC, то прямоугольные треугольники ABP и ACP подобны. Выразим AC через r и PC:

AC/CP = AB/PB
(r+24) / r = AB / (r-24)

(r+24)^2 = r AB
r^2 + 48r + 576 = r AB

Теперь подставим найденное значение AC и найдем выражение для AB:

r^2 + 48r + 576 = r(r+24)

Теперь найдем радиус вписанной окружности треугольника ABC. Так как треугольники ABC и BCP подобны, то:

r/(r+24) = r/(24)
r^2 = 24r
r = 24

Ответ: радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 24.