В окружность с центром в точке o вписан остроугольный треугольник abc, ab=12 и ac=16. Прямая bo пересекает сторону ac в точке d и bo перпендикулярна прямой ao. Найти длину отрезка cd.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник abc остроугольный, то его высота, проведенная из вершины c, лежит внутри треугольника.

Обозначим отрезок cd через x. Так как прямая bo перпендикулярна прямой ao, то треугольник cda является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
ad^2 + x^2 = ac^2
ad^2 + x^2 = 16^2
ad^2 + x^2 = 256

Также заметим, что треугольники ado и bco подобны по двум углам, так как углы в этих треугольниках равны (прямые уголы) и угол aod равен углу boc (по условию). Из подобия двух треугольников мы можем написать пропорцию:
ad / 12 = 16 / x
ad = 12 * 16 / x

Подставим найденное выражение для ad в уравнение Пифагора:
(12 16 / x)^2 + x^2 = 256
(192 / x)^2 + x^2 = 256
36864 / x^2 + x^2 = 256
36864 + x^4 = 256 x^2
x^4 - 256 * x^2 + 36864 = 0

Решив это квадратное уравнение относительно x^2, получаем:
x^2 = 144 или x^2 = 256

Исходя из условия, x должно быть положительным числом, поэтому x = √144 = 12. Таким образом, длина отрезка cd равна 12.