Площадь прямоугольника равна 49√3 см², а угол между его диагоналями - 60°. Найти стороны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь прямоугольника равна произведению его диагоналей, поделенному на 2. То есть S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали прямоугольника.

Так как площадь прямоугольника равна 49√3 см², то 49√3 = (d1 d2) / 2
Отсюда можем найти, что d1 d2 = 98√3

Также известно, что угол между диагоналями прямоугольника равен 60°. Зная это, можем составить прямоугольный треугольник с диагоналями в качестве катетов и диагональю как гипотенузой. Тогда применим теорему косинусов:

cos(60°) = (d1^2 + d2^2 - d^2) / (2 d1 d2)

Подставляем d1 * d2 = 98√3 и cos(60°) = 1/2:

1/2 = (d1^2 + d2^2 - d^2) / (2 * 98√3)
d1^2 + d2^2 - d^2 = 49√3
d1^2 + d2^2 = d^2 + 49√3

Так как диагонали прямоугольника являются диагоналями прямоугольного треугольника, то d^2 = d1^2 + d2^2. Подставим это:

d1^2 + d2^2 = d1^2 + d2^2 + 49√3
49√3 = 49√3

Таким образом, у нас получилось равенство, что означает, что все расчеты были выполнены верно.

Итак, стороны прямоугольника равны sqrt(49√3) и sqrt(49√3), то есть 7√3 и 7√3 см.