В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K - середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3. Докажите, что KM ⊥ AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства, что KM перпендикулярно к прямой AC, докажем, что треугольники AKM и CKM подобны.

По условию, точка K - середина ребра A₁B₁, значит, AK = KB₁ (поскольку в равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны).

Также, по условию, точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3. Значит, AM = AC / 4 и MC = 3 * AC / 4.

Из сходства треугольников AKM и CKM следует, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть:

AK / CK = AM / CM

Подставляем известные значения:

AK / CK = AC / 4 / 3 * AC / 4 = 1 / 3

Следовательно, треугольники AKM и CKM подобны с коэффициентом подобия 1 : 3.

Тогда, так как в подобных треугольниках углы, против отрезков, пропорциональны, то угол MKC = угол MAK.

Учитывая, что угол MAK + угол BAC = 90° (так как ABCA₁B₁C₁ - прямая треугольная призма), получаем, что угол MKC + угол BAC = 90°.

Значит, отрезок KM перпендикулярный к AC.