В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1= 7, AB=16, AD=6. Точка K — середина ребра C1D1.а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Проведем плоскость, проходящую через точку B перпендикулярно прямой AK и обозначим точку пересечения этой плоскости с отрезком A1K как M.

Так как плоскость проходит через точку B и перпендикулярна прямой AK, то она перпендикулярна и к прямой AKD1. Таким образом, угол AMK будет прямым.

Теперь заметим, что параллелограмм AABB1A1 является проекцией параллелограмма A1KK1A на плоскость ABC. Так как BC перпендикулярна KM (плоскости AABB1A1) и перпендикулярна KM (плоскости ABC), то угол между этими двумя плоскостями равен углу MKK1=90°.

Итак, мы доказали, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.

б) Тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AK, и плоскостью ABC равен отношению высоты параллелограмма ABB1A1 (h) к длине стороны этого параллелограмма (AB).

Для того чтобы найти этот тангенс, рассмотрим треугольник ABM. Так как угол AMB прямой, то тангенс этого угла равен отношению AM к BM. Но AM=h, а BM=AB/2=8 (половина AB).

Таким образом, тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AK, и плоскостью ABC равен h/8.