Докажите, что если в равнобедренную трапецию с основаниями a и b вписана окружность, то ее радиус равен 1/2 умноженная на корень из ab

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим середину одной из оснований трапеции как точку O. Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из сторон трапеции. Обозначим точки пересечения окружности с основаниями трапеции как точки M и N, где M - точка пересечения с основанием a, а N - точка пересечения с основанием b.

Так как трапеция равнобедренная, то точки M и N делят основания a и b пополам. Значит, MO = NO = 1/2 a и MO = NO = 1/2 b.

Также, так как окружность вписана в трапецию, то MN будет радиусом окружности. Таким образом, MN = 1/2 * (a + b).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MON:
(MN)^2 = (MO)^2 + (NO)^2
(1/2 (a + b))^2 = (1/2 a)^2 + (1/2 b)^2
(1/4 (a^2 + 2ab + b^2)) = (1/4 a^2) + (1/4 b^2)
(a^2 + 2ab + b^2)/4 = (a^2 + b^2)/4
(a^2 + 2ab + b^2) = a^2 + b^2
2ab = 0

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями a и b, равен 1/2 * √(ab).