В трапеции a,b,c,d с основаниями b,c, и a,d, диагонали пересекаются в точке M .Докажите что треугольники MBC и MAD подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по свойству треугольника MAB и MAD мы можем записать следующее:

MA/MD = sin<AMB / sin<DMB

Также, с помощью теоремы синусов для треугольников BCD и ABC, получаем:

MA/MD = (BC / BD) * (sin<CBD / sin<BCD)

Так как BD = CD, мы имеем:

(BC / BD) = BC / CD = (AB / AD)

Итак, после подстановки, мы получим:

sin<AMB / sin<DMB = (AB / AD) * (sin<CBD / sin<BCD)

Также заметим, что по построению у нас есть:

<AMB = <CMB и <DMB = <AMD

Таким образом, мы можем записать:

sin<AMB = sin<CMB и sin<DMB = sin<AMD

Теперь мы можем записать:

sin<CMB / sin<AMD = sin<ABD / sin<ABC

Таким образом, треугольники MBC и MAD подобны по признаку общих углов и равных пропорций длин сторон.