Диагонали парпллелограмма ABCD пересекаются в точке O. биссектриса угла AOD пересекает сторону AD в её середине . докажите, что ABCD прямоугольник

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть M - середина стороны AD, и пусть N - точка пересечения биссектрисы угла AOD с стороной AD.

Так как M - середина стороны AD, то AM = MD.

Также, так как N - точка пересечения биссектрисы угла AOD с стороной AD, то угол OAN = угол NAD.

Так как угол AOD - это угол на диагонали параллелограмма, то угол AOD = 180 - угол ADC.

Дано, что угол AOD делит на две равные части, значит угол AON = угол NOD = (180 - угол ADC) / 2.

Теперь рассмотрим треугольники AON и NOD. У них углы напротив равны, значит они равнобедренные треугольники, что значит NA = ND.

Также, так как AN = ND, угол ADN = угол AND.

Теперь рассмотрим треугольник ANM, так как AM = MD и NA = ND, то он равнобедренный, значит угол ANM = угол NAM.

Так как AM = DM и угол AND = угол ANM, то треугольник ADM равносторонний.

Но равносторонний треугольник равносторонен прямоугольнику, значит ABCD - прямоугольник.

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.