В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если угол САD=30 градусов, АС=12 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон прямоугольника ABCD. Так как угол CAD = 30 градусов, то треугольник CAD является равносторонним. Следовательно, сторона AC равна 12 см.

Так как ABCD - прямоугольник, то сторона AB равна стороне CD = 12 см.

Теперь найдем длину диагонали AC, которая равна $\sqrt{12^{2} + 12^{2}} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ см.

Так как диагонали в прямоугольнике пересекаются под углом $90^\circ$, то треугольник AOV - прямоугольный.

Так как AO - радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника, то он равен половине гипотенузы:

$AO = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см

Теперь можем найти сторону OV:

$OV = \sqrt{AO^{2} + AV^{2}} = \sqrt{(6\sqrt{2})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см

Так как стороны треугольника АОV равны между собой, то периметр треугольника будет равен $12 + 6\sqrt{3}$ см.