Две стороны треугольника равны 5 см и 3 см. Медиана проведенная к третьей стороне делит данный треугольник на два . Найдите разность периметров этих треугольников

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, делит его на два треугольника: один с площадью, равной 1/2 от площади исходного треугольника, и другой с такой же площадью.

По условию один из треугольников имеет стороны 5, 3 и x см, а второй - стороны 5, 3 и (2x) см, так как медиана делит третью сторону пополам.

Сначала найдем длину третьей стороны x. Для этого воспользуемся формулой герона и коэффициентами подобия треугольников:

(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}),
где (p = \cfrac{a + b + c}{2}) - полупериметр треугольника,

(x + 5 + 3) - полупериметр треугольника со сторонами 3, 5 и x.

Длина установлено:

(5 + 3 + x + 5 + 3 + 2x = 16 + 3x).

Таким образом, (p = 8 + \cfrac{3}{2}x) и (S = \sqrt{8 + \cfrac{3}{2}x \displaystyle \cdot \Bigl(8 - 5\Bigr)\displaystyle \cdot \Bigl(8 - 3\Bigr)\displaystyle \cdot \Bigl(8 - x\Bigr)} = \sqrt{12(5 - x)}).

Теперь найдем площади треугольников.

Площадь треугольника с сторонами 5, 3 и x равна (\cfrac{1}{2}bh = \cfrac{1}{2} \displaystyle \cdot 3 \displaystyle \cdot x = \cfrac{3x}{2}).

Площадь треугольника с сторонами 5, 3 и 2x равна (\cfrac{3}{2} \displaystyle \cdot 3 \displaystyle \cdot 2x = 9x).

Тогда разность периметров двух треугольников равна разнице их периметров:

(2(5 + 3 + x) - 2(5 + 3 + 2x) = 6x - 12 = 6(x - 2)).

Таким образом, разность периметров двух треугольников равна 6(х - 2) см.